Historique de cette page
(25/05/02):
Sites d’enseignants en prépa
(28/07/02)
Les solutions des exercices de mon
cours
(18/08/02) Quelques devoirs-maisons (et
leurs corrigés). Sujets donnés à l’oral
blanc
(5/09/02) Site
de la prépa d’Alès
(14/09/02) Théorème
de Morley
(14/09/02) Textes inspirés par
les mathématiques
(31/12/03) Le métro
transfini
(1/2/04) Cercles de
Villarceau
(1/9/04) Entrées de mon
blog
(1/9/04) Problèmes
célèbres
(1/9/04) Grands
nombres
(3/12/04) Un nouveau livre
"différent"
(18/2/05) Suites et
applications conjuguées ; documents
Maple
(9/3/05) Ensemble de
Mandelbrot
(17/9/05) Encore un livre
"différent"
(17/6/06) Une
fonction nulle part dérivable
(6/12/06) Le
jeu de Nim bicolore
(24/12/06) Le lemme "qui
n'est pas de Burnside"
(24/8/09) Matrices
antisymétriques et rotations vectorielles
.
Formation: École Normale Supérieure (rue d'Ulm), promotion 1967.
J'enseigne (depuis 1990) en prépa TSI (sup), au lycée
J.B Dumas (Alès) ; cette prépa s'était d'ailleurs
dotée (en septembre 2002) d'un site propre, mais il est resté en
jachère assez longtemps, puis a beaucoup déménagé ; vous
pourrez peut-être bientôt le
retrouver ici. Les inondations (du 9/9/02) nous ont sévèrement
touchés, et il a fallu quelques semaines avant que la classe
reprenne un fonctionnement à peu près normal
Il ne nous restait plus qu'à espérer que la promotion n'en
souffre pas trop... Cinq ans plus tard, à l'été 2007, les
résultats sont plutôt
inespérés en fait, malgré une certaine diminution des
effectifs, à laquelle l'attitude de l'administration du lycée
(changée en 2005) n'était peut-être pas tout à fait
étrangère...
Mon cours : les fichiers donnés ici sont des fichiers PDF (le format lisible par Adobe Reader ; l'affichage (mais pas l'impression) en est peut-être peu esthétique si vous êtes encore sous Adobe version 5, en revanche, la version 6 produit un résultat impeccable), mais ils ont été en réalité produits à partir de fichiers dvi, eux-mêmes obtenus avec une distribution TeX (si vous ne savez pas de quoi il s'agit, allez voir là (ou en anglais, ici), et aussi la page de son créateur D.Knuth, ainsi que ma bibliothèque idéale). Tels quels, ils sont donc peu réexploitables, mais si vous avez une raison légitime d'être intéressé par les originaux, ou par d'autres sujets corrigés, par exemple, je me tiens à votre disposition pour vous fournir les fichiers textes correspondants (écrivez-moi à ).
De nombreux autres documents de travail sont fournis aux élèves: fiches d'exercices-types, devoirs-maison (et leurs corrigés), problèmes de concours, oraux, etc.
Sur le site de l’UPS, vous trouverez le
programme officiel de la classe... en 2000. Il a changé
depuis (d'importantes modifications ont eu lieu en 2003, puis en
2013) ; en voici (en PDF) la
nouvelle version. Mon cours le respecte pour l'essentiel, même
si j'en bouleverse souvent l'ordre ; pour respecter les nouveaux
programmes, j'ai introduit un assez grand changement dans la
présentation de la géométrie ; les fichiers proposés ici
seront mis à jour progressivement au cours de l'année
2013-2014...
On peut regretter la relative absence sur le
Web de documents analogues (mais il faut dire qu'il
n'existe qu'une trentaine de prépas TSI, soit 5% des prépas
"classiques") ; voici des
références à d'autres sites (peut-être mieux faits que le
mien) ; bien que l'approche en soit sans doute difficile pour des
élèves de TSI, je recommande la lecture des
cours de PTSI (sup) de C. Bertault, tout particulièrement ses
"règles
de bonne rédaction", ainsi que celle (plus difficile
encore, cependant) de tout le site
de C. Cagnaert, professeur en Spé (TSI) au lycée Colbert de
Tourcoing
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TECHNIQUES GÉNÉRALES |
2. Calculs algébriques dans R, systèmes linéaires |
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ANALYSE |
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10. Dérivabilité |
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13. Intégration |
Interlude 2: Décomposition des fractions rationnelles |
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ALGÈBRE LINÉAIRE |
17. Matrices |
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20. Déterminants |
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GÉOMÉTRIE |
Interlude 3: Matrices orthogonales |
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Le programme d’informatique de la classe prévoit
l’utilisation d’un logiciel de calcul formel. Ce genre
d’objet commence à être connu (par exemple par les heureux
propriétaires de TI-92 et autres), mais on ignore souvent
leur puissance exacte (et leurs limites). J'ai écrit un
document de travail pour les TD d'informatique (en sup TSI,
mais c'est adaptable), intitulé «les
maths avec Maple, pas à pas», et montrant (entre autres)
certaines des réalisations possibles avec ces outils (ou
plutôt avec celui que nous utilisons à Alès). |
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Outre les documents précédents, j'ai aussi rédigé au fil des années quelques petits textes supplémentaires; en voici une liste complète, commentée ci-dessous
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J'ai trouvé presque par hasard sur mathworld
la formule de Faà di Bruno, mais
la démonstration est de moi
Dans la série des «raisonnements
divins», Alain Connes a donné récemment (en 1998) une
démonstration très astucieuse du théorème de Morley
(sur les trisectrices d’un triangle). Comme je n’en ai pas
trouvé de version française sur le Web, j’en donne ici une
adaptation (niveau math sup). Je collectionnais jadis
d'autres démonstrations élégantes de résultats plus ou
moins classiques (théorème de d'Alembert-Gauss, loi de
réciprocité quadratique, théorème de Cayley-Hamilton,
etc.), mais ce travail est fait bien mieux que par moi à
divers endroits du Web; je n'ai
pourtant réussi à trouver nulle part la jolie preuve que
notre prof de math sup nous avait donnée de l'existence des
cercles de Villarceau; la revoici
donc (avec des justifications détaillées).
Je suis par ailleurs en train de rédiger un petit texte sur les cardinaux et les ordinaux, dont le but essentiel est de donner quelques résultats liés à l'hypothèse du continu, par exemple une jolie démonstration (due à Hartög) du fait que Card (R) ne peut être égal à alephw, ou une construction d'un ordre "universel" sur aleph1. En attendant que ce soit terminé, je ne peux que vous conseiller d’aller déjà lire la passionnante synthèse qu’a écrit David Madore au sujet de l’infini en mathématiques. Un autre de ses articles (plus ancien) présente sous une forme humoristique particulièrement agréable les premiers éléments de la théorie des ordinaux, mais il est également vivement recommandé, si vous n’avez encore jamais rencontré les idées et les résultats de Cantor sur les ensembles infinis, d’aller d’abord voir ce que la FAQ de fr.sci.maths a à dire à ce sujet (paragraphe V,5. pour un niveau pré-bac, paragraphe V,6. pour des idées et des résultats un peu plus avancés).
Au 1er mars 2005, le texte auquel il est fait
allusion ci-dessus n'était toujours pas complété; en
revanche, je me suis amusé à rédiger la démonstration
d'un étrange résultat concernant l'ordinal ω1,
sous forme "récréative". En voici une version
html, et donc fort mal typographiée
Et dans un genre très différent, j’ai aussi commis ceci, qui peut servir à tous les élèves de prépas : «Il n'y a pas de taupin heureux» (à Alès, nous le chantons rituellement (sur la musique composée par Brassens) lors de la fête de Noël) , ainsi, plus récemment, que ce pastiche de La Quête (de Brel). |
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Certains problèmes résistent plus que d'autres. Les plus
difficiles ont souvent été la source de grands progrès
mathématiques (et parfois, leur résolution a fait à elle seule
la gloire du mathématicien en ayant triomphé); la fascination
qu'ils exercent (comme par exemple celle du "grand théorème
de Fermat") ont été à la source de bien des vocations, et
des listes de problèmes majeurs ont souvent servi de programme de
recherches, comme ce fut par exemple le cas des 23 problèmes de
Hilbert.
Si tout cela vous intéresse, vous trouverez donc
en suivant ce lien une présentation
détaillée de ces problèmes (du moins de ceux que j'ai
estimé les plus importants, d'un point de vue mathématique,
historique, ou du moins anecdotique), le plus souvent complétée
par des renvois vers des sites plus pertinents que le mien (mais
hélas, souvent en anglais).
«Proofs
without words (I et II)» (Nelsen ; MAA):
sous-titrés «exercices in visual thinking», deux volumes
d’incroyables tours de forces, comme la démonstration purement
visuelle ci-dessous (cliquez sur l’image
(ou ici) pour l’agrandir). Pas de traduction en français
(mais à quoi cela servirait-il ?
).
Niveau : élémentaire (certainement dès la troisième, en
tout cas).
«Concrete Mathematics» (Graham, Knuth et Patashnik ; Addison-Wesley) : Techniques combinatoires; les bases de l'informatique théorique. Un texte extrêmement bien écrit, pédagogique et plein d’humour; traduit en français («Mathématiques concrètes», Vuibert). Niveau : Deug.
«Visual Complex Analysis» (Needham ; Oxford) : Comme l'indique le titre; il est stupéfiant de voir tout ce que l'auteur arrive à illustrer. Pas de traduction française pour l'instant. Niveau : Licence.
«Atlas des Mathématiques» (Reinhardt et Soeder ; Le Livre de Poche) : Encore un livre visuel, beaucoup plus sérieux qu'on ne pourrait le croire en le feuilletant. Ce panorama mathématique couvre finalement beaucoup de choses (parfois assez difficiles, comme les distributions ou la théorie de Galois), certaines oubliées (comme la géométrie projective) et d'autres fort récentes (comme les fractales). Un livre qui devrait donner envie au lecteur d'en apprendre beaucoup plus... Niveau : dès la Terminale.
«On Numbers and Games» (Conway ; Academic Press) : Introduction à la théorie additive des jeux (dont la bible est «Winning Ways»), et la construction de tous les nombres (ordinaux, réels, surréels) par une approche qui ne ressemble à rien de ce qui fut fait auparavant. Un livre inclassable et pétillant d'humour, hélas non traduit en français. Niveau : Deug (quoique...).
«The Book of Numbers » (Conway et Guy ; Springer) : Nettement plus facile que le précédent, ce livre est un «voyage à travers le monde des nombres, guidé par deux des experts les plus divertissants de ce domaine». Un nombre incroyable de nouveaux points de vue et d’informations difficilement trouvables sur des choses qu’on pourrait croire bien connues, comme la trisection de l’angle (à la règle graduée et au compas) par Archimède, ou le jeu des fractions à fabriquer des nombres premiers. Traduit en français sous le titre «Le Livre des nombres» (chez Eyrolles, mais il semble provisoirement épuisé). Niveau : Première ou Terminale, le plus souvent. Pour terminer sur une note personnelle : une des raisons de ma vocation mathématique fut la lecture du petit livre d’André Warusfel : «les nombres et leurs mystères». Ce livre est écrit dans le même esprit, et j’espère qu’il suscitera des vocations plus nombreuses encore.
«Proofs from the Book» (Aigner et Ziegler ; Springer) : Une collection de démonstrations «idéales» (celles qui, d'après Erdös, figurent dans le livre de mathématiques de Dieu). Des merveilles d'élégance et des idées extraordinairement astucieuses, souvent dues à Erdös lui-même. La traduction en français vient de paraître chez Springer, sous le titre «Raisonnements divins». Niveau : Deug, mais pas inaccessible à de bons élèves de Terminale.
«Problem-Solving Strategies» (Engel; Springer) : Une collection unique de plus de 1300 problèmes de compétition (Olympiades de Mathématiques, compétitions nationales, etc.) et de techniques permettant de les aborder ; il ne s'agit pas uniquement, loin de là, d'un répertoire d'astuces, mais on y trouvera aussi des stratégies générales, utilisables non seulement pour ces problèmes difficiles, mais aussi pour les situations plus fréquemment rencontrées par les étudiants. Pas de traduction française pour l'instant (mais vous pouvez, si vous ne lisez pas du tout l'anglais, vous consoler avec l'excellent Les Olympiades de mathématiques, de T.B.Soulami, chez Ellipses). Niveau : Terminale pour l'essentiel (mais pour des élèves très motivés) ; quelques passages demandent des connaissances plus approfondies...
«L'Analyse au fil de l'Histoire» (Hairer et Wanner ; Springer): Ça ressemble à un cours d'Analyse de niveau Math sup ou spé... et en un sens, c'en est un, mais la façon d'aborder chaque sujet, en partant des motivations et des problèmes historiques correspondants, sans cependant sacrifier la rigueur ou masquer les difficultés, en fait un livre inclassable, qui devrait remotiver tous ceux qui trouvent la prépa indigeste et les outils qu'on y enseigne abstraits et inutiles. Niveau : en principe Deug (ou prépas), mais en fait parfaitement accessible dès la terminale, et fascinant à n'importe quel niveau. Un exemple au hasard pour vous allècher : un des exercices du début (si, si) du livre montre comment Euler part de la remarque selon laquelle 72 + 1 = 2 x 52 pour obtenir la jolie série 7/5 (1 + 1/100 + 1x3/100x200 + 1x3x5/100x200x300 +...), qui converge très rapidement vers sqrt(2)...
«Invitation
aux Mathématiques de Fermat-Wiles» (Hellegouarch ; Dunod)
:. Faut-il vraiment rappeler quel est le résultat dont ce
livre veut donner une idée de l'approche en ayant conduit à la
démonstration? Un texte très bien conçu, amenant
progressivement le lecteur vers les différents outils utilisés,
en les motivant, et contenant assez d'exercices variés pour lui
permettre d'apprivoiser leur maniement. Niveau : Licence à
Maîtrise, mais pas inaccessible à de très bons élèves de
Prépa, motivés par le sujet, et qui pourront y découvrir des
tas de choses fascinantes, allant des nombres p-adiques aux
formes modulaires...
Comme beaucoup de mathématiciens en
herbe de ma génération, j'avais espéré, sinon démontrer
moi-même le théorème, du moins en comprendre le démonstration
si elle était trouvée un jour. Ce livre en permet une approche,
mais vous pouvez aussi vous faire une idée de la difficulté de
la tâche sur un site extrêmement bien conçu (mais en anglais),
celui de Charles
Daney. Attention, vous pénétrez là à vos risques et périls
dans un immense labyrinthe (mais dont on vous donne au moins le
fil d'Ariane...)
Pédagogie des mathématiques
«Serge
Lang fait des maths en public», «Serge
Lang, des jeunes et des maths» (Serge Lang ; Belin) :
Ces livres (ils étaient devenus quasiment introuvables, mais
semblent avoir été récemment réédités), surtout le second,
sont un ahurissant témoignage du talent pédagogique de leur
auteur (pourtant plus connu comme chercheur de talent, et comme
auteur d'ouvrages de référence, dont le fameux Algebra).
Il paraît inimaginable qu'il arrive, par exemple, à démontrer à
des élèves de troisième (nullement exceptionnellement doués)
la formule donnant le volume de la sphère, et pourtant, il
parvient à un résultat encore bien plus incroyable : leur faire
parcourir quasiment par eux-mêmes le chemin de la démonstration,
et ce suffisamment clairement pour qu'ils puissent ensuite la
réexposer à leur camarades. Et ses conférences au Palais de la
Découverte devant des publics certes curieux et motivés, mais
non-mathématiciens, méritent également le voyage. Une triste
nouvelle de dernière minute (15/9/2005) assombrit hélas ce
panégyrique : Serge Lang vient de mourir (à l'âge de 78 ans)
«Fabrice, ou l'école des mathématiques», «L'âge du capitaine» (Stella Baruk ; Point) : Ces deux livres (précédés de Échecs et Maths, d'une lecture moins aisée, et suivis du Dictionnaire des Mathématiques, malheureusement d'un prix peu abordable) ont révolutionné la pratique de certains enseignants, et mis le doigt sur un certain nombre de problèmes et de carences, évidentes après coup, mais que, semble-t-il, personne n'avait su voir auparavant. Un must pour quiconque envisage d'enseigner les mathématiques dans le secondaire (et même le primaire), et aussi pour tous ceux qui se croient sourds aux maths (mais, hélas, il y a bien peu de chances qu'ils soient en train de lire ce paragraphe...)
Textes littéraires parlant de (ou inspirés par les) mathématiques
«Oncle Petros et la Conjecture de Goldbach» (Doxiadis ; Point) : Ça commence par une mystification. Le narrateur semblant doué pour les mathématiques, son oncle prétend le tester en lui proposant un petit problème facile; il faut démontrer que tout nombre pair supérieur à 4 est la somme de deux nombres premiers. Vous devinerez aisément la suite... mais sans doute pas les motifs de l'oncle pour ainsi humilier son neveu. Et vous n'aurez besoin d'aucune connaissance particulière de la théorie des nombres pour apprécier ce délicieux petit roman (on peut seulement déplorer que le traducteur n'ait pas jugé bon de consulter un mathématicien avant de saboter certains passages).
«The Wild Numbers» (Shogt ; FourWalls Eight Windows) : Celui-là est dur à se procurer (sauf en passant par amazon.com). C'est bien dommage, parce qu'il s'agit d'un texte remarquable sur la vie du chercheur mathématicien en proie à l'excitation et à la frustration que procure le travail sur une conjecture trop difficile pour lui. Soit dit en passant, la critique dont je donne le lien en est due à un autre éclectique de mon genre, Danny Yee, dont je recommande la page personnelle.
«The Planiverse» (Dewdney ; Copernicus Books) : Jadis traduit en français (sous le titre, quelle surprise, de «Le Planivers»), mais cette édition semble épuisée, ce livre est sous-titré «Contact par ordinateur avec un monde à deux dimensions». Contrairement au livre-référence de Abbott, Flatland, il s'agit d'une exploration méthodique de tous les aspects de la vie dans le monde de Arde, avec une minutie de détails si soigneusement pensés que certains lecteurs ont vraiment cru qu'un contact authentique avait été établi. Les dispositifs mécaniques sont incroyablement ingénieux, tout comme les prouesses biologiques permettant par exemple à des circuits de cellules nerveuses de se «croiser». Mais c'est aussi un délicieux roman centré sur l'attachant personnage de Yendred, plein d'émotion, et débouchant sur une vision mystique inattendue.
L'encyclopédie de Eric Weisstein (en anglais): mathworld
Un site historique génial (biographies, histoire des grands problèmes, etc.), régulièrement mis à jour et enrichi: l'université de St-Andrews (Écosse) Et, un peu moins riche, mais en français (et bien documenté sur les mathématiques récentes), le site de chronomaths.
Pour trouver une suite (genre (1,2,4,8,16,31,...)): l'encyclopédie des suites entières, de Sloane
Pour déterminer une formule explicite pour un réel (genre 0.577215664901...), l'inverseur de Plouffe (ou le projet «Inverse Symbolic Calculator», aux fonctionnalités un peu différentes, et désormais quelque peu périmé; allez voir où en est ce centre de mathématiques expérimentales canadien).
Ce site (en anglais) vous dira tout sur les nombres premiers.
Le site des différentes associations d’enseignants des classes préparatoires (dont l’UPS (l’Union des Professeurs de Spéciales) contient de nombreuses références utiles, en particulier l’ensemble des pages personnelles de ces enseignants. Vous y trouverez par exemple le site de C.Caignaert, contenant un cours complet de TSI Spé, ou celui de R. Ferréol, particulièrement riche en textes pédagogiques et en belles figures mathématiques ; je vous recommande également cet excellent site dû à un prof de prépa, et riche en exercices d'oraux corrigés, ainsi qu'en nombreux exposés fort pédagogiques de sujets "un peu au delà" de la prépa.
Mais on consultera aussi les sites de David Madore (ancien élève à l'ENS ; on y trouve en particulier de nombreux textes très pédagogiques ; je suggère, pour commencer, de lire la remarquable synthèse qu’il a écrite sur les questions liées à l’infini), de Robin Chapman (des séries de démonstrations astucieuses (en anglais), dont une douzaine de preuves de ce que 1 + 1/4 +…+ 1/n2 +…= p2/6) ; dans le même genre, on trouvera sur le site de David Eppstein 17 preuves de la formule d'Euler sur les polyèdres; enfin, le site de Dave Rusin contient une remarquable encyclopédie de problèmes, d'exemples et de contre-exemples, etc.. Il y avait aussi de belles choses sur le site d’Andrew Burbanks, par exemple des exposés très clairs sur les suites de Goodstein et sur le problème de l'hydre, mais elles n'y sont plus ; en attendant leur éventuelle republication, lisez sur les suites de Goodstein cet article de la Wikipedia
Le site personnel de G.J.Chaitin contient de nombreux exposés et conférences sur ses travaux. Toute personne un peu intéressée par la logique, les résultats de Gödel, ceux de Turing, etc. devrait être fascinée par ces textes, et tout particulièrement par ce qu’ils révèlent de l’aspect irréductiblement chaotique de la vérité mathématique…
Enfin, on trouvera sur ce site personnel une énorme liste de liens vers d'autres textes mathématiques de grande qualité (mais hélas tous en anglais), téléchargeables (gratuitement, bien sûr) et couvrant tous les domaines possibles. Un ensemble d'une richesse inépuisable.
Il y a aussi de l'humour mathématique: on en trouve (en anglais) sur le site «science jokes», ou encore ici (en anglais et en allemand), et j'ai moi-même commis une ou deux choses. Nicolas Bourbaki (qui, en tant que personne, n'est qu'un vaste canular, même si la production de ce mathématicien collectif est un des monuments du 20ème siècle) a produit quelques jolis textes
Puzzles mathématiques : allez donc voir ce site (en anglais)
Fractales : Vous savez
sûrement ce que c'est, mais procurez-vous tout de même la Bible,
de Benoit
Mandelbrot : «Les
objets fractals».
Outre le programme fractint
(un remarquable exemple de freeware) qui a servi à créer les
fonds d'écrans de ces pages, vous pourrez admirer d'innombrables
réalisations ici
ou sur l'un des nombreux sites mentionnés là
...
Autres beaux objets mathématiques : Ne ratez pas, sur le site de R. Ferréol, la partie consacrée à une collection très complète de belles courbes et surfaces. On trouvera également sur le site de Xavier Hubaut de très belles réalisations de polyèdres réguliers, semi-réguliers et étoilés (à faire tourner avec la souris). Mais les sites les plus spectaculaires sont ceux représentant des objets de l'espace à 4 dimensions, tout particulièrement cette applet permettant de déplacer des coupes de polytopes...
Inclassables : Les Éléments d'Euclide illustrés : ce site présente une traduction en anglais du texte original, accompagnées d'illustrations en Java de toutes les constructions géométriques